La partícula cuántica sin ecuaciones

La partícula cuántica va a dejar de ser partícula al estilo clásico por el hecho de tener suprimido al menos uno de sus grados de libertad (hay otras razones: muy bajas temperaturas, condiciones de contorno periódicas, etc.). Su descripción, más allá de criterios clásicos, debe incluir el comportamiento ondulatorio, siguiendo los resultados experimentales.

La dualidad experimental onda-partícula

En un cristal conductor o semiconductor, si es de suficiente tamaño (vamos a poner que sea de decenas de nanómetros o, mejor, de unas cuantas micras), los electrones pueden ser tratados como partículas. Pero en nanoelectrónica, los electrones deben ser tratados como ondas.

La demostración experimental del comportamiento del electrón como onda vino de la mano del experimento de la doble rendija. Según las predicciones basadas en la física clásica, si un haz de partículas se proyecta sobre 2 rendijas, en la pantalla impactarán dejando dos rayas, ya que una partícula sólo va a ser capaz de pasar por una de las rendijas. En el caso de tener un haz de ondas (el experimento de la doble rendija de Young fue propuesto inicialmente en el siglo XIX para demostrar la naturaleza ondulatoria de la luz). Las ondas que han pasado por la doble rendija dejarán un patrón de interferencia en la pantalla de impacto.

Cuando el experimento se realiza con electrones, tendríamos dos líneas en la pantalla siguiendo la predicción clásica de que los electrones son partículas, pero experimentalmente lo que se obtiene es un patrón de interferencia. Frente a todos los pronósticos clásicos, los electrones se comportaban como ondas.

 

Pero esto no es todo. Experimentalmente, es posible hacer incidir un solo electrón en la dirección de la doble rendija. Un solo electrón individual deja de tener un comportamiento ondulatorio cuando impacta con la pantalla del fondo, pero anteriormente se ha debido comportar como una onda (es decir, interfiere consigo mismo siguiendo las leyes del comportamiento ondulatorio) ya que si hacemos incidir electrones individuales (de uno en uno cada vez, de forma que sólo pueden interferir consigo mismo), se obtiene un patrón correspondiente a ondas. El resultado está mostrado en la Figura 1 para diferentes cantidades de electrones individuales incidentes. Cuando tenemos pocos, el comportamiento final no es demasiado visible, pero cuando son bastantes, claramente aparece el patrón de interferencia en la pantalla. Insisto en que cada electrón es proyectado de forma individual para que pase a través de la doble rendija, de forma que el patrón resultante es una prueba de la naturaleza ondulatorio de cada electrón.

Figura 1. Resultado experimental obtenido cuando se hace incidir un determinado número de electrones independientes a través de la doble rendija de Young.

Pero según los experimentos de J. J. Thompson (siglo XIX), los electrones eran efectivamente partículas que tenían una masa y una carga determinadas (de hecho, cuando midió la relación carga-masa de los electrones demostró, al mismo tiempo, su propia existencia). La simetría entre los fotones (que Eisntein había inventado para explicar fenómenos como el efecto fotoeléctrico y que le confería propiedades de partículas a los cuantos de luz) y electrones como ondas y partículas al mismo tiempo fue propuesta por De Broglie en 1924. A partir de este punto, se realizaron numerosos experimentos en los que se puso de manifiesto la naturaleza ondulatoria de los electrones y otras partículas, entre los que cabe destacar los experimentos de la difracción de partículas llevados a cabo por Davisson y Germer en EEUU, y G. P. Thompson (el hijo del Thompson ya mencionado). Ahora sólo quedaba darle una entidad matemática, pero, sobre todo, una explicación física.

Hay que tener en cuenta lo siguiente: a pesar de observarse este fenómeno ondulatorio, los electrones siguen poseyendo su naturaleza corpuscular, es decir, los impactos en la pantalla corresponden a partículas discretas. Esto resulta un tanto sorprendente y contradictorio con nuestra idea del mundo físico. Más sorprendente resulta aún el siguiente fenómeno: podríamos intentar establecer la trayectoria de una única partícula (por ejemplo, tapando uno de los agujeros), en cuyo caso el patrón de difracción desaparece. Es decir, la observación del fenómeno altera el mismo, o lo que es lo mismo, las propiedades ondulatorias y corpusculares de la materia son complementarias. Por otra parte, para una única partícula, no es posible predecir donde impactará (pues equivaldría a predecir su trayectoria, lo que eliminaría el patrón de difracción), pero lo que si podemos conocer es la probabilidad -la distribución de intensidad- del patrón de difracción. Por tanto, para una única partícula el proceso es de naturaleza estadística, lo que podemos conocer es la probabilidad asociada a la intensidad del patrón de interferencia.

 

Figura 2. Erwin Schrödinger.

La función de onda en el espacio complejo

La descripción matemática del comportamiento de la partícula-onda cuántica vino principalmente de la mano de Schrödinger (Figura 2). Antes de entrar en esta ecuación, vamos a recordar qué es una onda. Para eso, vamos a describir matemáticamente qué es una onda plana (la más sencilla) compleja (puesto que no se sabía la naturaleza del comportamiento ondulatorio, Schrödinger no quiso suponer que la onda fuera ya una descripción en términos reales).

La función de onda cuántica es una cantidad abstracta, cuya interpretación es de naturaleza estadística. El conocimiento de la función de onda permite predecir una distribución estadística de valores obtenidos en medidas para cada variable dinámica (posición, momento, energía, etc.). Al pasar a una descripción probabilística de la naturaleza de la materia, podemos afirmar que la Física ha renunciado a la predicción exacta de lo que sucederá en una circunstancia definida. No sabemos que algo ocurrirá con certeza, sino la probabilidad de que eso ocurra.

Por analogía con la teoría ondulatoria clásica, en física cuántica se define la función de onda Y(x,y,z,t), que juega el papel de una amplitud de probabilidad. Esta función de onda es un número complejo. Para una partícula en un volumen del espacio, la probabilidad de encontrar esa partícula en el punto de coordenadas x,y,z y en el instante t es P(x,y,z,t)µ| Y(x,y,z,t)|².

Si en el experimento de la doble rendija representamos por Y₁ la función de onda correspondiente a las ondas que se difunden desde la ranura 1, y Y₂ la función de onda correspondiente a las ondas que se difunden desde la ranura 2, tendremos que, cuando únicamente una de las ranuras está abierta cada vez: P₁ a |Y₁|² y que P₂ a |Y₂|²

Cuando ambas ranuras están abiertas, el efecto combinado de ambas viene descrito por la suma de las funciones de onda Y = Y₁ + Y₂ y su probabilidad será: P a |Y₁+Y₂|²

Es decir, lo que se suma son las funciones de onda, y no las probabilidades. Por tanto, es posible superponer funciones de onda. Teniendo en cuenta que las funciones de onda son números complejos, eso explica la aparición de patrones de interferencia como el observado[1]. Es decir, los electrones llegan como partículas, pero su probabilidad de llegada sigue el patrón de interferencia de la intensidad de una onda. En este sentido el electrón se comporta “algunas veces” como una partícula y otras “como una onda”[2].

Usualmente se emplean funciones de onda normalizadas, de modo que la probabilidad sea igual (y no simplemente proporcional) al cuadrado del módulo de la función de onda. Digamos que la probabilidad de que una partícula se encuentre en algún punto del espacio tiene que ser del 100%, es decir, 1.

El primer paso para entender todo esto es recuperar nuestros conocimientos sobre el comportamiento de una onda plana compleja. Así va a ser el comportamiento de nuestros electrones en los nanodispositivos.

 

La función de onda plana compleja

Una onda plana compleja que viaja en el espacio (reducido a 1D por simplicidad) y en el tiempo tendrá como ecuación Y(x,t)= a ·exp[i(k₀x-w₀t)], de forma que la intensidad de esta onda es |Y|²=Y^*Y, siendo i la raíz cuadrada de -1. Como la intensidad de la onda es uniforme en todo el espacio: |Y|²=1, y es esto lo que nos lleva a la descripción de una onda plana:

Consideremos el plano de fase 0: k₀x-w₀t=0, siendo su velocidad de fase v_p=dx/dt= w₀/ k₀.

Vamos a centrarnos en el dominio del espacio. Una onda de amplitud a, intensidad |a|² y fase que oscila en el espacio con un número de onda k₀ (un posible desfase exo(if) puede ser incluido en a, ya que sólo implica un desplazamiento): Y(x)= a·exp[ik₀x].

La representación en el espacio complejo en función de la dimensión espacial x será la de una onda que se repite en la dimensión x con longitud de onda l=2p/k₀. Por otro lado, si hacemos la transformada de Fourier, la onda plana compleja también puede ser representada en función de su número de onda k. En particular, esta onda plana, que sólo tiene k=k₀, se representará como una función delta precisamente en este k₀. Esta es la representación de esta onda plana en el denominado espacio de fases, también conocido como espacio de Fourier. De hecho, la transformada de Fourier de la onda plana sería A(k)= 2p a·d(k- k₀).

Por convenio se usa la representación Y cuando representamos la onda en el espacio real y A cuando la representamos en el dominio de la fase. Si quisiéramos pasar de nuevo al espacio real x, bastaría con deshacer la transformada de Fourier Y(x)= a·exp(ik₀x).

En el dominio de del tiempo, la descripción matemática es muy similar:

Paquetes de onda e incertidumbre

Hemos visto en el experimento de la doble rendija que las funciones de onda planas complejas deben poder superponerse. El caso más sencillo sería la combinación lineal de dos funciones de tipo delta en el espacio real unidimensional. En este caso, la transformada de Fourier es la suma de dos ondas planas.

Volvamos a la partícula cuántica, como es el electrón. En una onda plana podemos definir la posición del electrón mediante una función delta, pero su fase estaría totalmente indefinida. Y viceversa, si definimos pormenorizadamente la fase, no sabríamos dónde está situado el electrón en el espacio de fases. Es decir, si describimos al electrón como una partícula puntual idealizada Y(x,t)= d(x- x₀, ·t- t₀). Podemos identificarla en una posición en un momento dado, pero perderemos toda la información sobre su número de onda y su frecuencia angular. Por lo tanto, una onda de este tipo no es una buena descripción del electrón. Necesitamos entonces una descripción imprecisa pero localizada tanto en el dominio del espacio real como en el espacio de fases (también conocido como espacio de Fourier). La representación adecuada es un paquete de ondas. Por ejemplo, un paquete de ondas de tipo Gaussiano, que es una función en la que la desviación estándar que puede ser interpretada como la incertidumbre de encontrar la función de onda del electrón en torno a una posición (que en este caso es x=0). Como la probabilidad de que aparezca el electrón por allí es el cuadrado de la función de onda, la incertidumbre en esta posición es en realidad el cuadrado de la desviación estándar. Su transformada de Fourier es otro paquete de ondas con una desviación estándar inversamente proporcional a la que tiene la función de onda en el espacio real. Por eso, funciones de este tipo son tan convenientes, presentan incertidumbre, pero no demasiada (o al menos es controlable), también en el espacio de fases. Otra cosa es que luego no podamos tener la seguridad de su posición ni de su momento (que es lo mismo que pasa con la energía y el instante de tiempo).

Esta es la idea mental que tenía Schrödinger cuando formuló su ecuación para describir el comportamiento ondulatorio de una partícula cualquiera siempre que tuviera una masa.

 

La función de onda como descripción de una partícula

Vamos a acabar esta Sección hablando de lo que cabe esperar en la descripción de la partícula como una función de onda. Por supuesto, el electrón (o cualquier partícula con una determinada masa), no sólo es descrito matemáticamente por esta ecuación de ondas, sino que además requiere una interpretación física. En primer lugar, debemos precisar qué es la función de onda del electrón[3]. Esta tarea no es fácil, pues se trata de un concepto abstracto que no responde directamente a una cantidad mesurable. Empecemos por señalar, sin embargo, que una función de ondas es una función que contiene toda la información mesurable de una partícula. Es decir, es una forma de describir las propiedades de un sistema físico, sin que corresponda, como hemos dicho, con una determinada magnitud. Se suele representar con el símbolo Y y tiene una dependencia espacial y temporal. Asimismo, ya hemos señalado que el módulo al cuadrado de Y, es decir, |Y|²=Y^*Y, se corresponde con la probabilidad de encontrar la partícula en una determinada posición en un instante de tiempo; como para un instante de tiempo dado la partícula debe estar en algún sitio del espacio (si no, no existiría), debe verificarse que la integral extendida a todo el espacio de su cuadrado es 1. Es decir, la función de onda está normalizada.

También hemos visto que, para explicar los fenómenos de difracción, debe cumplirse el principio de superposición. Si Y₁ y Y₂ son funciones de onda de un sistema dado, cualquier combinación lineal de ellas (p. ej., c₁Y₁ + c₂Y₂) también debe ser una función de onda posible. La función de onda puede ser un número complejo: no podemos poner una restricción a que sea un número real, perderíamos información.

Otras propiedades que debe tener la función de ondas es que debe ser continua, debe permitir calcular el valor esperado de diversas magnitudes y, en la ecuación en la que se emplee para describir el sistema, únicamente debe aparecer la primera derivada de Y respecto al tiempo (ya que, si apareciera la segunda derivada, necesitaríamos conocer no solo Y sino también la primera derivada respecto al tiempo para describir el sistema; esto lo veremos con más detalle en la siguiente Sección). Por último, no debemos olvidar el principio de correspondencia: extrapolados al mundo macroscópico, los resultados deben ser consistentes con la física clásica.

 

La función de onda nos permite, a partir de ella, obtener toda la información (magnitudes) de un sistema. La forma de realizar esta tarea es a partir de los llamados operadores. ¿Qué es un operador cuántico? Se trata de una “entidad” matemática que, actuando sobre la función de onda permite obtener el valor de un observable (una magnitud) multiplicado por la función de onda. En particular, estamos hablando del momento y de la energía total de la partícula. Una vez resuelta la ecuación para una partícula sometida a un determinado potencial (es decir, que tiene una determinada energía potencial), los valores obtenidos de energía aplicando el operador energía pueden estar cuantizados, y se denominan autovalores, pero todo depende Y. A partir de la función de onda se pueden obtener también los valores esperados o promedio de estas cantidades.

El último paso es que, si alguien ha llegado a leer hasta aquí, busque en internet el aspecto que tiene la ecuación de Schrödinger y la considere seriamente para un posible tatuaje en toda la espalda, ya que esta ecuación se ha aplicado a todos los sistemas cuánticos imaginables y siempre con éxito.

 

[1] Por abuso de lenguaje, en muchas ocasiones nos referimos a Y como función de onda de un sistema en particular, aunque en realidad correspondería a la función de onda de un conjunto de sistemas idénticos e idénticamente preparados, como corresponde a su naturaleza estadística.

[2] Este experimento no se ha realizado como mostramos, puesto que tendría que reducirse a unas dimensiones increíblemente pequeñas. Es un experimento imaginado.

[3] La nomenclatura “de onda” viene del origen de la teoría al observarse fenómenos ondulatorios. Sin embargo, no deben establecerse analogías entre lo que describiremos a continuación y la teoría clásica de ondas, porque ahora nos adentramos en la explicación física de esta función, que es radicalmente distinta.